圖 (a): (從左到右) (1) 原始圖片 (2) 使用高斯低通濾波器 (3) 使用高斯高通濾波器. 本文中的原始圖像來(lái)自O(shè)penCV Github示例。

數(shù)字圖像現(xiàn)在已經(jīng)成為我們?nèi)粘Ｉ�活的一部分。因此，�?shù)字圖像處理變得越來(lái)越重要。如何提高圖像的分辨率或降低圖像的噪聲一直是人們熱門(mén)話題。傅里葉變換可以幫助我們解決這個(gè)問(wèn)題。我們可以使用傅立葉變換將灰度像素模式的圖像信息轉(zhuǎn)換成頻域并做進(jìn)一步的處理。

今天，我將討論在數(shù)字圖像處理中，如何使用快速傅立葉變換，以及在Python中如何實(shí)現(xiàn)它。操作流程如下 (從左到右):

圖（b）

1. 實(shí)現(xiàn)快速傅立葉變換，將灰度圖像轉(zhuǎn)換為頻域

2. 零頻域部分的可視化與集中

3. 應(yīng)用低/高通濾波器過(guò)濾頻率

4. 離散

5. 實(shí)現(xiàn)快速傅里葉逆變換生成圖像數(shù)據(jù)

讓我們深入到每一部分，找出這些步驟背后的理論。

快速傅里葉逆變換

圖 (c): (從左到右) (1)原始圖像 (2) FFT 頻譜的可視化輸出 (3) 集中化 (4) 離散化 (5) 逆向FFT

與現(xiàn)實(shí)生活中的光波和聲波不同，由于像素的不連續(xù)性，數(shù)字圖像是離散的。這意味著我們應(yīng)該實(shí)現(xiàn)離散傅立葉變換（DFT）而不是傅立葉變換。然而，離散傅立葉變換（DFT）常常太慢而不實(shí)用，這就是我選擇快速傅立葉變換（FFT）進(jìn)行數(shù)字圖像處理的原因。

第一步：計(jì)算二維快速傅里葉變換。 

快速傅立葉變換（FFT）處理的結(jié)果是一個(gè)很難直接可視化的復(fù)數(shù)數(shù)組。因此，我們必須把它轉(zhuǎn)換成二維空間。這里有兩種方法可以可視化這個(gè)快速傅立葉變換（FFT）結(jié)果：1、頻譜2、相位角

圖 (d): (從左到右t) (1) 頻譜 (2) 相位角

從圖（d）（1）可以看出，四個(gè)角上有一些對(duì)稱圖案。這些圖案可以在下一步中轉(zhuǎn)換到圖像的中心。

頻譜圖像中的白色區(qū)域顯示出較高的頻率。頻譜圖像中的角表示低頻域。因此，結(jié)合以上兩點(diǎn)，角上的白色區(qū)域表明：在低/零頻域中存在高頻率，這對(duì)于大多數(shù)圖像來(lái)說(shuō)是非常正常的情況。

另一方面，很難從圖（d）（2）中識(shí)別出任何明顯的圖案，這并不代表快速傅立葉變換（FFT）的相位角完全沒(méi)有用處，因?yàn)橄辔槐Ａ袅藞D像所必需的形狀特征。

第二步：將零頻域部分移到頻譜中心。 

二維快速傅立葉變換（FFT）具有平移和旋轉(zhuǎn)特性，因此我們可以在不丟失任何信息的情況下移動(dòng)頻譜。我把零頻域部分移到了頻譜的中心，這使得頻譜圖像對(duì)人類更為可見(jiàn)。此外，這種轉(zhuǎn)換可以幫助我們輕松實(shí)現(xiàn)高通/低通濾波器。

步驟3：與步驟2相反。將零頻域部分移回原位置

步驟4：與步驟1相反。計(jì)算二維快速傅里葉逆變換。

步驟3和步驟4的過(guò)程是將頻譜信息轉(zhuǎn)換回灰度圖像。它可以通過(guò)應(yīng)用逆向移位和快速傅立葉變換（FFT）的逆運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。

編碼 

在Python中，我們可以利用Numpy模塊中的numpy.fft  輕松實(shí)現(xiàn)快速傅立葉變換（FFT）運(yùn)算操作。

在理解了傅里葉變換背后的基本理論之后，我們就可以研究如何控制頻譜輸出來(lái)處理圖像了。首先，我們需要了解低/高通濾波器。

低通濾波器 

圖 (e):

低通濾波器是一種只允許低頻譜通過(guò)的濾波器。圖像中的低頻譜意味著像素值變化緩慢。例如，圖像中顏色變化較小的平滑區(qū)域（如新空白白紙的中心）被視為低頻譜內(nèi)容。

由于低通濾波器的輸出只允許低頻通過(guò)，對(duì)噪聲等高頻譜內(nèi)容進(jìn)行了阻塞，使得處理后的圖像具有較少的噪聲像素。因此，低通濾波器被廣泛應(yīng)用于圖像的去噪。

高通濾波器

圖(f)

相反，高通濾波器是只允許高頻譜通過(guò)的濾波器。圖像中的高頻譜意味著像素值變化很大。例如，圖像中顏色變化較大的邊緣區(qū)域，如兩張重疊的白紙和黑紙之間的邊緣，被認(rèn)為是高頻譜內(nèi)容。

在圖像中，通過(guò)做適當(dāng)?shù)闹貜?fù)計(jì)算來(lái)銳化原圖像，能用適當(dāng)?shù)闹貜?fù)計(jì)算來(lái)銳化原始圖像的圖像，從高通濾波器的輸出可獲得圖像中的邊緣。這將增強(qiáng)原始圖像的清晰度，使邊緣更加清晰。

從圖e（5）和圖f（5），我們可以注意到這兩個(gè)濾波器呈現(xiàn)不同的特性。低通濾波器傾向于保留圖像中的整體信息。另一方面，高通濾波器試圖辨別出圖像中的變化。

在了解了前一節(jié)中的低通/高通濾波器的工作原理后，讓我們繼續(xù)認(rèn)識(shí)濾波器形狀

理想的濾波器 

圖(g):(從左到右)(1)使用D₀=50的低通濾波器 (2)使用D₀=50的高通濾波器

公式 (a): 在理想低通濾波器的公式中，D₀是合理常量，D（u，v）是頻域中一點(diǎn)（u，v）與頻域矩形中心之間的距離

在理想濾波器背后的概念非常簡(jiǎn)單：給定一個(gè)半徑值D₀作為閾值，低通濾波器圖（g）（1）在閾值下H（u，v）等于1，在閾值以上H（u，v）等于0。

公式(b): 在理想高通濾波器的公式中，D₀是合理常量，D（u，v）是頻域中一點(diǎn)（u，v）與頻域矩形中心之間的距離

相反，高通濾波器圖（g）（2）在閾值下H（u，v）等于0，在閾值以上H（u，v）等于1。 

巴特沃思（Btterworth）濾波器 

圖(h): (從左到右) (1) 使用n=20，D₀=50的Butterworth 低通濾波器（2) 使用n=20，D₀=50的Butterworth 高通濾波器

圖 (i): (從左到右) (1)使用n=3的Butterworth 低通濾波器 (2)使用n=3的Butterworth高通濾波器

公式(c): 在Butterworth低通濾波器的公式中， D₀是一個(gè)合理常量， D（u，v）是頻域中一點(diǎn)（u，v）與頻域矩形中心之間的距離

與理想濾波器不同的是，巴特沃斯濾波器沒(méi)有明顯的不連續(xù)性，使得通過(guò)的頻率和被過(guò)濾的頻率之間有明顯的邊界。巴特沃斯濾波器在函數(shù)中引入了一個(gè)新的參數(shù)n。當(dāng)操作n時(shí)，它影響著通過(guò)的頻率和被過(guò)濾的頻率之間邊界的清晰程度。圖（h）和圖（i）

公式(d): 在Butterworth高通濾波器的公式中， D₀是一個(gè)合理常量，D（u，v）是頻域中一點(diǎn)（u，v）與頻域矩形中心之間的距離

高斯（Gaussian）濾波器

圖 (j): (從左到右) (1) 使用D₀=50的高斯低通濾波器 (2) 使用D₀=50的高斯低通濾波器

公式 (e): 在高斯低通濾波器的公式中，D₀是一個(gè)合理常量，D（u，v）是頻域中一點(diǎn)（u，v）與頻域矩形中心之間的距離

與巴特沃斯濾波器相比，高斯濾波器產(chǎn)生的邊界更平滑。通過(guò)的頻譜和被過(guò)濾的頻譜之間的邊界非常模糊，這便可以更平滑的處理圖像。

公式 (f): 在高斯高通濾波器的公式中，D₀是一個(gè)合理常量，D（u，v）是頻域中一點(diǎn)（u，v）與頻域矩形中心之間的距離

濾波器比較

圖 (k): (從左到右) 理想濾波器, n=10的Butterworth濾波器和D₀=50 的高斯濾波器

我把所有不同的過(guò)濾器放在圖（k）中，以總結(jié)我們?cè)谶^(guò)濾器設(shè)計(jì)中所做的工作。從左到右，圓的邊緣變得模糊，這將對(duì)輸出結(jié)果產(chǎn)生不同的影響

總體上來(lái)看，巴特沃斯濾波器是介于理想濾波器和高斯濾波器之間的濾波器。

低通濾波器的結(jié)論

圖 (l): (從左到右) (1) 理想濾波器的輸出 (2)巴特沃斯濾波器的輸出

(3) D₀=50時(shí)高斯濾波器的輸出

圖（l）顯示所有三個(gè)濾波器都是低通濾波器，因?yàn)檩敵鰣D像保留了整個(gè)圖像信息。此外，我們可以很容易地注意到高斯濾波器由于低失真比其他兩個(gè)濾波器表現(xiàn)更好。理想濾波器產(chǎn)生大量波形噪聲的原因是，理想濾波器的設(shè)計(jì)阻塞了距離原點(diǎn)一定半徑以外的所有信息。因此，有些信息會(huì)在沒(méi)有任何平滑的情況下急劇中斷。相反，巴特沃斯濾波和高斯濾波是平滑的阻塞在距離原點(diǎn)一定半徑之外的信息，這使得圖像更平滑，失真更小。

高通濾波器的結(jié)論

圖 (m): (從左到右) (1) 理想濾波器的輸出 (2)巴特沃斯濾波器的輸出

(3) D₀=50時(shí)高斯濾波器的輸出

毫無(wú)疑問(wèn)，圖（m）中的濾波器是高通濾波器，因?yàn)檩敵鼋Y(jié)果只捕獲邊緣。在濾波器中，高通濾波器結(jié)果的差異類似于低通濾波器結(jié)果。與巴特沃斯濾波器和高斯濾波器相比，理想濾波器的濾波結(jié)果有很多失真。

結(jié)束語(yǔ)

傅立葉變換是處理二維信息的有力工具。FT允許我們?cè)诹硪粋�(gè)維度處理圖像，這帶來(lái)了更大的靈活性。