統(tǒng)計(jì)學(xué)里面，正態(tài)分布（normal distribution）最常見。男女身高、壽命、血壓、考試成績、測量誤差等等，都屬于正態(tài)分布。

以前，我認(rèn)為中間狀態(tài)是事物的常態(tài)，過高和過低都屬于少數(shù)，這導(dǎo)致了正態(tài)分布的普遍性。最近，讀到了 John D. Cook 的文章，才知道我的這種想法是錯(cuò)的。

正態(tài)分布為什么常見？真正原因是中心極限定理（central limit theorem）。

"多個(gè)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)量的和的平均值，符合正態(tài)分布。"

上圖中，隨著統(tǒng)計(jì)量個(gè)數(shù)的增加，它們和的平均值越來越符合正態(tài)分布。

根據(jù)中心極限定理，如果一個(gè)事物受到多種因素的影響，不管每個(gè)因素本身是什么分布，它們加總后，結(jié)果的平均值就是正態(tài)分布。

舉例來說，人的身高既有先天因素（基因），也有后天因素（營養(yǎng)）。每一種因素對身高的影響都是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，不管這些統(tǒng)計(jì)量本身是什么分布，它們和的平均值符合正態(tài)分布。（注意：男性身高和女性身高都是正態(tài)分布，但男女混合人群的身高不是正態(tài)分布。）

許多事物都受到多種因素的影響，這導(dǎo)致了正態(tài)分布的常見。

讀到這里，讀者可能馬上就會(huì)提出一個(gè)問題：正態(tài)分布是對稱的（高個(gè)子與矮個(gè)子的比例相同），但是很多真實(shí)世界的分布是不對稱的。

比如，財(cái)富的分布就是不對稱的，富人的有錢程度（可能比平均值高出上萬倍），遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出窮人的貧窮程度（平均值的十分之一就是赤貧了），即財(cái)富分布曲線有右側(cè)的長尾。相比來說，身高的差異就小得多，最高和最矮的人與平均身高的差距，都在30%多。

這是為什么呢，財(cái)富明明也受到多種因素的影響，怎么就不是正態(tài)分布呢？

原來，正態(tài)分布只適合各種因素累加的情況，如果這些因素不是彼此獨(dú)立的，會(huì)互相加強(qiáng)影響，那么就不是正態(tài)分布了。一個(gè)人是否能夠掙大錢，由多種因素決定：

          家庭

          教育

          運(yùn)氣

          工作

           ...

這些因素都不是獨(dú)立的，會(huì)彼此加強(qiáng)。如果出生在上層家庭，那么你就有更大的機(jī)會(huì)接受良好的教育、找到高薪的工作、遇見好機(jī)會(huì)，反之亦然。也就是說，這不是 1 + 1 = 2 的效果，而是 1 + 1 > 2。

統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，如果各種因素對結(jié)果的影響不是相加，而是相乘，那么最終結(jié)果不是正態(tài)分布，而是對數(shù)正態(tài)分布（log normal distribution），即x的對數(shù)值log(x)滿足正態(tài)分布。

這就是說，財(cái)富的對數(shù)值滿足正態(tài)分布。如果平均財(cái)富是10,000元，那么1000元～10,000元之間的窮人（比平均值低一個(gè)數(shù)量級，寬度為9000）與10,000元~100,000元之間的富人（比平均值高一個(gè)數(shù)量級，寬度為90,000）人數(shù)一樣多。因此，財(cái)富曲線左側(cè)的范圍比較窄，右側(cè)出現(xiàn)長尾。