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什么是傅立葉變換？
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，傅里葉變換是將輸入的信號(hào)分解成指定樣式的構(gòu)造塊。例如，首先通過(guò)疊加具有不同頻率的兩個(gè)或更多個(gè)正弦函數(shù)而生成信號(hào)f（x），之后，僅查看f（x）的圖像缺無(wú)法了解使用哪種或多少原始函數(shù)來(lái)生成f（x）。
這就是傅立葉變換最神奇的地方。將f（x）函數(shù)通過(guò)一個(gè)傅立葉變換器，我們就可以得到一個(gè)新的函數(shù)F（x）。F（x）的是最初生成f（x）函數(shù)的頻率圖。因此，通過(guò)查看F（x）我們就可以得到用于生成f（x）函數(shù)的原始頻率。實(shí)際上，傅立葉變換可以揭示信號(hào)的重要特征，即其頻率分量。
例如下圖，該圖中有f（x）函數(shù)合成時(shí)的兩個(gè)不同頻率的原函數(shù)和對(duì)應(yīng)的傅里葉變換結(jié)果F（x）。
生成該圖片的代碼如下：
Fs = 150.0; ＃采樣率
Ts = 1.0 / Fs; ＃采樣間隔
t = np.arange（0,1，Ts）＃時(shí)間向量
ff1 = 5; ＃信號(hào)頻率1
ff2 = 10; ＃信號(hào)2的頻率
y = np.sin（2 * np.pi * ff1 * t）+ np.sin（3 * np.pi * ff2 * t）
從圖中可以看出，由于原始函數(shù)是由兩個(gè)不同頻率的輸入函數(shù)組成的，因此經(jīng)過(guò)傅立葉變換后的相應(yīng)頻率圖顯示了兩個(gè)不同頻率的尖峰。
這是對(duì)傅立葉變換的比較簡(jiǎn)單的解釋。它是一個(gè)非常復(fù)雜但非常有用的功能，在數(shù)學(xué)，物理和計(jì)算機(jī)視覺(jué)中得到了廣泛的應(yīng)用。
圖像處理中的傅立葉變換
現(xiàn)在我們知道了傅里葉變換對(duì)信號(hào)處理的作用。它將輸入信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域。
但是它在圖像處理中有什么用？它將輸入圖像從空間域轉(zhuǎn)換為頻域。換句話說(shuō)，如果要在進(jìn)行傅立葉變換后繪制圖像，我們將看到的只是高頻和低頻的頻譜圖。高頻偏向圖像中心，而低頻偏向周?chē)�。具體形式如下圖所示。
上面對(duì)圖像進(jìn)行傅里葉變換的結(jié)果可以通過(guò)如下代碼實(shí)現(xiàn)：
import numpy as np
import cv2 from matplotlib
import pyplot as plt
img = cv2.imread('scenery.jpg', 0)
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft) magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('After FFT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
現(xiàn)在我們可以對(duì)圖像進(jìn)行FFT（快速傅里葉變換）變換了，并且可以使用轉(zhuǎn)換后的結(jié)果進(jìn)行多種操作：
邊緣檢測(cè)—使用高通濾波器或帶通濾波器
降噪—使用低通濾波器
圖像模糊-使用低通濾鏡
特征提�。ㄔ谀承┣闆r下）-過(guò)濾器和其他一些openCV工具的混合搭配
HPF濾波器
如前所述，在經(jīng)過(guò)FFT變換的圖像中，在中心處發(fā)現(xiàn)低頻，而在周?chē)⒉剂烁哳l，我們可以創(chuàng)建一個(gè)掩碼數(shù)組，該掩碼數(shù)組的中心是一個(gè)圓，其余全部為零。當(dāng)將此掩碼數(shù)組作用于原始圖像時(shí)，所得圖像將僅具有低頻。由于高頻對(duì)應(yīng)于空間域中的邊緣，這樣就可以實(shí)現(xiàn)圖像中的邊緣檢測(cè)。這個(gè)掩碼數(shù)組就時(shí)HPF濾波器。
我們可以通過(guò)如下代碼生成HPF濾波器
mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8)
r = 80 center = [crow, ccol]
x, y = np.ogrid[:rows, :cols]
mask_area = (x - center) ** 2 + (y - center) ** 2 <= r*r
盡管可以選擇使用多種類(lèi)型的過(guò)濾器，但是主要使用三種類(lèi)型的過(guò)濾器：
高通濾波器（HPF）
低通濾波器（LPF）
帶通濾波器（BPF）
使用openCV和NumPy的高通濾波器進(jìn)行邊緣檢測(cè)
在計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域中，檢測(cè)圖像邊緣非常有用。一旦我們可以提取圖像中的邊緣，就可以將該知識(shí)用于特征提取或模式檢測(cè)。
圖像中的邊緣通常由高頻組成。因此，在對(duì)圖像進(jìn)行FFT（快速傅立葉變換）后，我們需要對(duì)FFT變換后的圖像應(yīng)用高通濾波器。該濾波器會(huì)阻止所有低頻，僅允許高頻通過(guò)。最后，我們對(duì)經(jīng)過(guò)了濾波器的圖像進(jìn)行逆FFT，就會(huì)得到原始圖像中一些明顯的邊緣特征。
接下來(lái)，我們使用汽車(chē)的圖像進(jìn)行此實(shí)驗(yàn)，這個(gè)過(guò)程的代碼如下所示：
rows, cols = img.shape
crow, ccol = int(rows / 2), int(cols / 2) # center
# Circular HPF mask, center circle is 0, remaining all ones
mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8)
r = 80 center = [crow, ccol]
x, y = np.ogrid[:rows, :cols]
mask_area = (x - center) ** 2 + (y - center) ** 2 <= r*r
# apply mask and inverse DFT
fshift = dft_shift * mask
fshift_mask_mag = 2000 * np.log(cv2.magnitude(fshift[:, :, 0], fshift[:, :, 1]))
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv2.idft(f_ishift)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])
plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray') plt.title('After FFT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(2, 2, 3), plt.imshow(fshift_mask_mag, cmap='gray') plt.title('FFT + Mask'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(2, 2, 4), plt.imshow(img_back, cmap='gray') plt.title('After FFT Inverse'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
程序運(yùn)行結(jié)果如下圖所示：
可以看出，高通濾波器阻止了所有的低頻信號(hào)，并且僅允許高頻通過(guò)。由于邊緣通常是由高頻信號(hào)構(gòu)成的，因此可以在最后的圖像中找到原圖像的邊緣信息。
